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  线性代数的发展及其应用 一、线性代数的发展 线性代数是代数的一个分支,主要处理线性关系问题。线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成,然而它的历史却非常久远。最古老的线性问题是线性方程组的解法,在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中,已经作了比较完整的叙述,其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换,消去未知量的方法 现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末,线性代数的领域还只限于平面与空空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线世纪时,线性代数就获得了光辉的成就。 随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入,行列式和矩阵在18~19世纪期间先后产生,为处理线性问题提供了有力的工具,从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入,形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此,向量空间及其线性变换,以及与此相联系的矩阵理论,构成了线性代数的中心内容。 矩阵论始于凯莱,在十九世纪下半叶,因若当的工作而达到了它的顶点。万博体育app3.01888年,皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体(domain)上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择。 线性代数的初等部分的形成和发展 一、行列式 ?最早引入行列式概念的,是十七世纪的日本的数学奠基人关孝和。他1383年著《解优题之法》一书,对行列式及其展已经有了清楚的叙述。但是在公元一世纪(东汉初年)。中国古算术《九章算术》中已有用矩阵(当时称为“方程”)的初等变换来解线性方程组的内容了。关孝和的思想的产生,大概多受惠于中国而非西方的影响。 ? 1693年,莱不尼兹用指标数的子统集合表示含两个未知量和三个线性方程组所组成的系统,他从三个方程的系数中消去两个未知量,得到一个行列式,就是现在所称的方程组的法式。 ? 用行列式去解含二、三、四个未知量的方程组,可能在1729年由马克劳林所首创,且于1748年发表在他的遗作《代数绝著》中,其法则基本就是现在所使用的法则。瑞士数学家克莱姆(Cramer)于1750年把马克劳林的法则发表在他的《线性代数分析导言》中,这就是现在所谓的克莱姆法则。 ? 1772年,范德蒙(Vander monde)把行列式脱离开线性方程组作为一个独立的理论研究。给出行列式的定义与确立符号的法则,被认为是行列式理论的奠基人。 ? 1812年,柯西(Cauchy)首先采取“行列式”(Determinant)这一名称。他还于1815年把行列式的元素记为aij,带双重足码。他的著作给出行列式第一个系统的也几乎是近代的处理,其中一个主要结果之一是行列式的乘法规则。 ? 1825年,叔尔克,叙述并说明了行列式的一些性质。 ? 1841年,英国数学家剀莱引入了行列式的两条竖线。同年,德国数学家雅各比(Jacobi)著名论文《论行列式的形成与性质》发表,这标志着行列式系统理论的建成。 二、矩阵和线性方程组 ?在行列式理论形成与发展的同时,矩阵理论以及与其有密切关系的线性方程组、线性空间的线性变换等理论也蓬勃得发展起来了。十九世纪,已经发现了用初等变换解线性方程组的高斯法。 ? 1849年,剀莱已经给出可逆方阵作成乘群的结论。 ? 1850年,英数学家希尔维斯特(Sylevester)首先使用“矩阵”(Matrix)这个词。此后,矩阵理论得到迅速发展,万博体育app3.0主要原因是由于有了行列式的成果作基础。对此作出重大贡献的是希尔维斯特和剀莱,矩阵的很多开创性工作都是他做出的。希尔维斯特1858年发表了重要文章《矩阵的研究报告》,其中定义了矩阵的相等、零矩阵、单位矩阵、矩阵运算、性质、逆矩阵、转置矩阵性质以及特征矩阵和特种根等。1870年,法约当(Jordan)给出矩阵的相似型,即现在线性代数中所说的约当标准型。 ? 1879年,德著名数学家佛洛宾纽斯(1849-1917)引进了矩阵的秩的概念。他还普遍证明了Hamilton-Cayley定理,提出了最小多项式的概念并研究了正交矩阵、λ-矩阵的不变因子和初等因子的理论。 ?此后对行列式和矩阵的发展作出贡献的数学家还有Kronecher、Dodgson和Hadaward等人。 二、线性代数的应用 线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用,因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天,计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。 线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容,其理论应用,是研究现代科学技术的重要方法,在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。本文通过对线性代数的定义的解释,和应用实例的列举,分析了线性代数被广泛运用于各个领域的原因。并对在这些领域中,线性代数的具体应用做了简要论述。 线性代数被广泛运用的原因 原因之一,大自然的许多现象恰好是线性变化的。以物理学为例,整个物理世界可以分为机械运动、电运动、还有量子力学的运动。 其二,随着科学的发展,我们不仅要研究单个变量之间的关系,万博体育app3.0还要进一步研究多个变量之间的关系,因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而科学研究中的非线性模型通常也可以被近似为线性模型,另外由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,所以,线性代数因成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用。 其三,线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系,从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等,对于强化人们的数学训练,增益科学智能是非常有用的。 线性代数在生活中的应用 一、在电子、软件工程中的应用 由于线性代数是研究线性网络的主要工具,因此,电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代;在进行IC集成电路设计时,对付数百万个集体管的仿真软件也需要依赖线性方程组的方法;对于光电及射频工程,电磁场、光波导分析都是向量场的分析,比如光调制器分析研制需要张量矩阵,手机信号处理等等也离不开矩阵运算。 二、在工业生产和经济管理中的应用 在工业生产和经济管理方面应用最广的应该是行列式了,人们可以利用行列式解决部分工程中的现实问题。例如:日常会计工作中有时会遇到的一些单位成本问题,虽然成本会计可以算出单位成本,用约当产量法或定额法或原材料成本法,但只能求得近似值,不能求得精确值。 三、在机械工程领域中的应用 在机械工程领域复杂线性方程组的数值求解是经常遇见的问题,而且机械工程中的一些多解问题,例如机构转配构型,机器人机构树状解和设计方案的多解问题等,常常需要线性代数中线性方程的一些理论求解。 四、在运筹学中的应用 运筹学的一个重要议题是线性规划,许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。而线性规划则要用到大量的线性代数的知识进行处理。如果你掌握了线性代数及线性规划的相关知识,那么你就可以将实际生活中的大量问题抽象为线性规划问题,从而得到最优解。 五、 物流环节中线性代数的应用十分广泛 比如,航空运输业就使用线性规划来调度航班,监视飞行及机场的维护运作;作为经营者,线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货,以达到最大利润;在物流配送环节中如何安排车辆调度;在生产环节中如何制定生产计划;物流运输配送问题;生产配料问题等等。 六、其他领域中的应用 对于其他领域,也基本没有用不上线代的地方。如搞建筑工程,那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具;石油勘探,勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决;做餐饮业,对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组;再比如气象方面,为了做天气和气象预报,有时往往根据诸多因素最后归结为解一个线性方程组。当然,这种线性方程组在求解时不能手算,而要在电子计算机上进行;又比如线性方程组在国民经济中的应用。为了预测经济形势,利用投入产出经济数学模型,也往往归结为求解一个线性方程组。

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