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文章关键词:万博体育3.0ios,随机微分几何

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  面 向 21世 纪 课 程 教 材 犜犲狓狋犫狅狅犽犛犲狉犻犲狊犳狅狉21狊狋犆犲狀狋狌狉 狔 大学数学 第二版 多元微积分及其应用 萧树铁 主编 章纪民 萧树铁 编著 高等教育出版社 再版序言 提高大学数学教学质量的关键在于教师,但一套较好的教材也是重要的. 随着我国大学数学教学内容改革的逐步深入,当前不少高等学校在基础数学 教学内容的改革方面有了一些进展,例如单纯“面向专业”的观念有所淡化,代 数课程的内容和学时有所增加,开设了一些新的课程,如“数学实验”和“随机 数学”等;相应地有一批新教材出版 本套教材也在试用了两年多以后,进行了 . 部分修订 这就是《大学数学》的第二版 . . 在保持原有的指导思想和风格的前提下,这一套教材由原来的五本:《一 元微积分》、《多元微积分及其应用》、《代数与几何》、《随机数学》及《数学实验》 改编、扩充为七本,即:《微积分(一)》、《微积分(二)》、《多元微积分及其应用》、 《流形上的微积分》、《代数与几何》、《随机数学》及《数学实验》,其中《流形上的 微积分》是新编入的,《随机数学》正在在修订中,《数学实验》这次还来不及修 订 除了这三本以外,另外四本改编的大致情况如下: . 《微积分(一)》以原来的《一元微积分》中的第一篇,即“直观基础上的微积 分”为其主要内容,力求做到“返璞归真”除了进一步强调了计算和应用之外, . 还增加了一些对“极限”的朴素描述. 《微积分(二)》是把原来《一元微积分》中的第二篇,即“理性微积分”的内 容作一些修改而成 其中为了使读者能更好体会数学分析中的一些基本手法, . 对用阶梯函数逼近的办法来处理定积分(即函数集扩张的思想)又作了一些改 进. 《多元微积分及其应用》是把原书加以适当精简而成 原书中“复变函数” . 部分重新改写以求突出重点和更加精练;原书的“微分几何”部分移到《代数与 几何》 . 以上三本教材的习题也都作了调整. 《代数与几何》内容的变动是适当精简了代数的内容,增加了“行列式的几 何意义”;几何部分则增加了“微分几何”的基本内容. 《流形上的微积分》与前面三本微积分教材合在一起,就显示了微积分从 古典一直到现代的基本面貌,而且也是一个理解当代数学和物理一个不可缺 少的台阶 虽然目前它并不属于数学基础课的范围,但可供对此有兴趣的学生 . 选修 此外,对从事微积分教学而在这方面有所欠缺的教师来讲,不妨顺便补 . 上这一课. · · 再版序言 2 《代数与几何》中的几何部分包括了仿射、射影和微分几何,还有两个非欧 几何的模型 它所需的学时不多(不超过 学时)这些内容的选取和写法是 . 30 . 否合适,能在多大程度上体现数学理性思维和“数学美”,还有待进一步讨论. 人们对大学数学课程中几何被严重削弱的缺陷已有共识,但又往往以“课内学 时不够”或“没有用”等理由保留了这个缺陷 精简课内学时是必要的,内容的 . 选取更可以讨论 希望有志于此的教师能先试开一些这方面的选修课,供大家 . 来讨论. 这次内容的调整主要是为了增加这套教材的灵活性,不同的学校或专业 在内容上可以有不同的选择:可以选择其中的某几本,或删去某些用小字写的 部分 例如在清华,这套教材就初步适应了一个较为稳定的教学计划 即除了 . . 部分文科和艺术类专业以外,数学基础课的内容确定为:“微积分(一)”( 学 3 分),“微积分(二)”( 学分),“多元微积分及其应用”( 学分),“代数”( 学 3 4 4 分),“几何”( 学分),“随机数学”( 学分),万博体育3.0ios“数学实验”( 学分),其中 学分 2 3 3 1 表示一个学期(实上课 周)上 节课(每节 分钟),另外适当安排少数课 15 15 45 外习题课 这样数学基础课的总学时就是 学时,而其中被列为必修基础课 . 330 的只有“微积分(一)”和“代数”两门 但实际上多数专业的学生几乎都选了大 . 部分甚至全部数学基础课. 参加这一版改写工作的有朱学贤、郑建华、章纪民、华苏、居余马、萧树铁、 李津、陈维恒等同志;谭泽光、白峰杉同志参加了讨论并提出很多好的意见. 编者于清华园 年 月 2002 10 序 言 长期以来,我国高等学校各类非数学专业的数学基础课都限于以微积分 为主要内容的“高等数学”面临 世纪各门知识的相互渗透和自身加速更新 . 21 的形势以及全面提高人才素质的需要,数学的作用将显得日益重要 而作为高 . 等学校数学基础课的作用,除了作为各门学科的重要工具以外,它在提高人才 全面素质中起着重要作用的培育理性思维和审美功能方面也应得到充分的重 视 这就需要一部与之相适应的教材 . . 这套“大学数学”教材是在前国家教委“面向 世纪教学内容和课程体系 21 改革”研究课题的支持下完成的 共有五本:《一元微积分》、《多元微积分及其 . 应用》、《代数与几何》、《随机数学》与《数学实验》我们认为它们是 世纪高 . 21 级人才应该普遍具备的数学基础 希望学生通过对它们的学习,能在掌握数学 . 工具、提高理性思维和审美素质以及获取新知识的能力诸方面打下一个良好 的基础 这种要求应该是针对任何专业的,只是在深度上及侧重的方面可能会 . 有些区别. 在现行的《高等数学》中,微积分和数学分析之间的关系一直是一个难以 处理的问题 世纪以前的微积分,以它的直观性和不断扩展的应用显示了 .19 数学的威力,但同时也暴露出其缺乏严格逻辑基础的缺点 诞生于 世纪的 . 19 数学分析则以其逻辑的完美显示了数学的理性精神 这两个方面在教材中如 . 果结合得好,可以激发初学者对数学的兴趣;但如果结合得不好,则很可能失 去两者的活力而形成一堆枯燥的形式推理和繁琐的计算 在本书中我们力图 . 按其本来的面目来编写,把一元微积分分为两部分:前一部分注重直观,着重 训练应用和运算,后一部分则着重培育理性思维. 《多元微积分及其应用》的应用内容包括复变函数、微分几何及常微分方程 . 《代数与几何》的代数部分基本上是线性代数,其内容也可分为两部分:一 部分是以算法为主的求解一般线性方程组的内容;另一部分则主要研究线性 空间及其上的线性映射 由于后者是前者的理论框架,而且它已成为近代数学 . 普遍使用的基本语言,因此本书在集合、关系、运算、代数结构之后,较快地进 入后者的讨论,并且通过数值表示把两者结合起来. 至于几何,尽管它在古希腊及 世纪有着辉煌的历史,在本世纪后半叶也进 19 入了数学研究的主流行列,但近 年来,在我国高校的数学基础课中,却一直被压 50 · · 序 言 2 缩到只剩下一点空间解析几何 这对培养学生的形象思维及理性思维的习惯极为 . 不利 本书除了在多元微积分应用中加上古典微分几何基础(曲线和曲面)以外,在 . 几何部分则增加了“仿射及射影几何”及非欧几何的两个初等模型. 本世纪后半叶以来,人们对事物认识演化的表现之一是从单纯的确定性 思维模式进入确定—随机性模式 这一趋势还在发展,在高校数学教学中已受 . 到广泛的关注 我们提出把“随机数学”正式列入基础课 本书内容的重点是通 . . 过几个典型范例的讨论,使学习者学会描述与表达随机性及随机变化的过程, 即集中于对随机模式认识的训练. 这套系列教材中的《数学实验》有其独特性 它的知识内容包含数值方法、 . 统计计算和优化计算的基本概念和初等方法,其目的是为学生自已动手解决 问题提供必要的数学知识和软件平台 这是一门以学生独立动手,教师起辅导 . 作用的课程 这类课程的教材如何编写,本书只是一种尝试 . . 以上是这套教材的一个简要介绍 这套教材既是一个统一的整体,各部分 . 之间又有相对的独立性,可以独立讲授 在内容方面,它包含了现行的高等数 . 学、线性代数、复变函数、微分方程、微分几何、数值分析、概率统计、优化计算 等课程最基本的内容,而总学时则大为减少 我们在清华大学几个班的试验表 . 明:全部讲完上述内容所需的学时大约为 左右 除数学实验外,如果再减 340 . 掉一些内容, 学时左右也是可以的,可由教师灵活掌握 280 . 这套教材在有些大段落后面,附有一段“评注”,万博体育3.0ios主要讲述这一段的重要思 想和可能的发展,为有兴趣的学生进一步学习数学开一点小小的窗口. 大凡一本可用的教材,往往有两种写法:尽量多写一点,以便于教师选择; 或尽量写少一点,以便于教师发挥 这套教材似乎偏于前者 因为这是一个尝 . . 试,对习惯讲授传统“高等数学”的教师来说,对这套教材可能不太适应,也许 需要多一些说明. 这套教材原有的基础是清华大学出版社 年出版、由萧树铁、居余马、 1995 葛严林等主编的三卷本《高等数学》参与现在这套教材编写的有朱学贤、郑建 . 华、章纪民、居余马、李海中、钱敏平、叶俊、姜启源、高立、何青等人 谭泽光、白 . 峰杉、韩云瑞等同志为本书的编写作了大量的工作 高教出版社对本书的编写 . 和出版始终给予热情的支持. 前面已说过,这套教材的编写是一个尝试,目的在于根据“百家争鸣”的精 神,参与探索大学数学基础课在培养下一世纪高素质人才中所应起的作用,以 及与之相适应的教材建设 我们衷心欢迎各方人士对这套教材评头论足,指出 . 缺点和错误 如果这套教材能起到抛砖引玉的作用,我们就很满足了 . . 萧树铁 年 月 1999 6 第二版前言 自 年本书第一版成书以来,我们又进行了两年的教学实践 在实践 2000 . 过程中对教材作了大量的修改,形成了现在大家看到的第二版 与第一版相 . 比,改动较大之处有: 重新安排了复变函数部分的次序 原版本中复变函数部分较为零碎, 1 . 以至于学完之后学生缺少对复变函数整体的认识 新版将复变函数的内容分 . 为两部分:可以用实函数研究的部分与复变函数本身特有的部分 前一部分放 . 在各章节的相应位置,(例如在第一章第 节通过定义 (欧几里德)平面 1 犈狌犮犾犻犱 上两点的乘积引入复数及复数域的概念;在第 节由复平面到复平面的二元 2 向量值函数引入复变函数,并讨论复变函数的极限和连续性;第 节通过向量 5 值函数的可微性讨论复变函数的微分;第四章第 节通过平面向量值函数的 2 第二类曲线积分引入复变函数的积分)由于这部分内容与多元向量值函数是 . 平行的,我们没有花太多的笔墨去强调,有些甚至作为向量值函数的特例放在 习题中让读者自己去探讨 后一部分是复变函数的精华,我们另辟一章(第六 . 章)来单独讨论. 重新安排了一些引出基本概念的例题,力图生动、活泼 我们希望这种 2 . 改动能稍稍改变某些教科书常有的严肃面孔,使大家能稍微轻松地进行学习. 在每章后面增加了“评注”,除了一些注解外,还提供了进一步思考的 3 线索. 基于本套教材的整体考虑,将微分几何的内容移到《代数与几何》分 4 册. 第二版大致分为五部分. 第一部分是第一章多元函数及其微分学 在简单介绍 空间的拓扑 . 犈狌犮犾犻犱 ———开集,闭集,连通性等之后,将复数当作复平面上的向量引进其加减乘除 运算 由 空间距离的定义引出多元函数和向量值函数的极限与连续的 . 犈狌犮犾犻犱 概念,这些概念与一元函数是一致的 全微分作为一个重点被引进 我们之所 . . 以这么做,是因为与一元函数导数对应的是多元函数的全微分而非编导数,而 全微分的重要性经常被初学者所忽视 向量值函数的全微分是这一章的另一 . 个重要内容,由此可得到 (雅可比)矩阵通过 矩阵的非奇异性我 犑犪犮狅犫犻 . 犑犪犮狅犫犻 们得到隐函数(隐向量值函数)存在性定理及其微分法 从多元函数的 . 犜犪 犾狅狉 狔 (泰勒)公式出发,我们研究多元函数的极值与条件极值多元函数微分的一个 . · · 第二版前言 2 重要的几何应用是曲面的切平面与法线,曲线的切线与法平面 复变函数的极 . 限、连续性与可微性作为向量值函数的应用分别在向量值函数的相应章节中 介绍. 第二部分是第二章含参变量积分 这部分篇幅较少,主要介绍由含参变量 . 积分与广义含参变量积分所定义的函数的微积分性质. 第三部分是多元函数的积分,包括第三章,第四章,第五章 这里介绍了二 . 重和三重积分的概念、性质以及它们的计算,极坐标、柱坐标和球坐标系下的 变量代换法 第一、二类曲线、曲面积分是这部分的另一重要内容,复积分作为 . 特殊的平面向量值函数第二类曲线积分被引入 通过重积分、曲线、曲面积分 . 的联系引出了场论. 第四部分是复解析函数 第六章将复变函数看成是复数域到复数域的一 . 元函数来研究其导数,引出复变函数解析的概念,并把初等函数解析开拓到复 平面上 通过格林公式推出解析函数积分的 (柯西)公式这里我们还 . 犆犪狌犮犺 . 狔 介绍了复级数,解析函数的双向幂级数展开,留数定理及辐角原理 实函数 . 级数的收敛域问题也在这里得到了解释 犜犪 犾狅狉 . 狔 最后一部分是第七章常微分方程 内容有线性常微分方程及方程组解的 . 结构,常系数线性常微分方程及方程组的求解方法(包括 (拉普拉斯) 犔犪犾犪犮犲 狆 变换)这一部分的最后是微分方程定性理论初步,这里讨论了平面系统的平 . 衡点分类及解的渐近性质. 全部使用本教材约需 学时,若去掉小字部分的内容, 学时的课堂讲 80 60 授也不影响本教材的内容完整性. 教材对于教师而言就相当于琴谱对于钢琴家 同一首乐曲,从萧邦和李斯 . 特手下弹出的感觉可能是完全不同的 希望用本教材讲课的教师能有机会互 . 相联系,交流各自的体会,指正本书的不足和缺陷. 编者 年 月 2003 3 前 言 微积分历来是大学基础数学课程最重要的组成部分. 知识资本是成功国家的基石 世纪的大学教育是更高层次的基础教 .21 育 它的目的之一是培养学生具有终生学习的扎实基础;能充分发掘自己的潜 . 力,去吸取和创造新的知识和技术 微积分的教学也应该围绕这个宗旨 . . 本书的内容分为“直观基础上”和“理性”的微积分两大块(第一篇和第二 篇)这两个名字取得未必合适,主要目的是希望强调历史上微积分发展的不 . 同阶段以及不尽相同的教学重点. 第一篇在 个直观基本假设(基本初等函数是连续的;两个重要极限及连 3 续函数可积)的基础上,讲述微积分的基本思想和方法,万博体育3.0ios大体相当于 和 17 18 世纪微积分的基本内容 主要强调的是微积分的运算和它对初等连续模型的 . 应用,包括极限、连续、导数、导数的应用(微分及其应用、连续函数的一些性 质、函数的形态和函数作图、不定型的 ’ 法则、导数在经济学中的应 犔 犎狅狊 犻狋犪犾 狆 用和 公式等)、定积分、不定积分、定积分在几何、物理及经济学中的应 犜犪 犾狅狉 狔 用和常微分方程初步(一阶线性方程、一些特殊的二阶方程及 三大定 犓犲 犾犲狉 狆 律的证明)等内容 本书尽可能把这部分内容写得浅近一些,以我国中学毕业 . 生现有的数学基础,相信经过适当的训练,对接瘦和理解诸如“以直代曲”, “从有限认识无限”等思想方法不会有太大的困难同时也为以后数学的学习 . 及例如物理等课程的学习作好铺垫 本书还以评注的形式在每章结尾处开一 . 些小窗口,以激发学生的思考潜能. 这一部分的内容是微积分课程中必不可少的,学生必需力求熟练地掌握 它 可能有一部分学生对一元微积分的了解只需到此为止 . . 微积分是近代数学的第一个伟大创造,同时也是近代科学精神诞生的一 个重要标志 微积分的学习如果仅限于第一部分是不够的,因为它本身存在的 . 一些矛盾有待于提升到理性层次来加以探讨 本书的第二篇主要讨论“极限理 . 论”和“一致收敛性”,包括了广义积分、级数、幂级数和 级数等内容 按 犉狅狌狉犻犲狉 . 传统的看法,这部分内容应该属于“高等微积分”或“数学分析”这类课程.50 年代以来,我国高校的数学教师往往在“高等数学”课程中这部分内容的选取 和安排方面存在不少争论 其实,逻辑推演方法对于近代科学的重要性是大家 . 熟知的,而且它是我国传统文化较为薄弱的一环 在初步具有上述用数学处理 . 简单连续模式能力的基础上,从理性的角度来提出问题和处理问题(在这里就 · · 前 言 2 是审视一下微积分的逻辑基础),这应该是大学数学教学的一项基本任务 当 . 然,鉴于一般中学生在这方面的基础比较薄弱,我们力图写得浅近一些,而且 教师还可以在此基础上适当删减,但不能忽视对学生理性思维的训练. 这本教材曾在清华大学三个系试用 所需学时在 左右,另外还需适当 . 70 安排一些习题课. 改革教学内容和课程体系是新世纪高等教育改革的重要内容 教育部从 . 年起进行立项研究,本书是清华大学萧树铁教授领导的课题项目的一项 1995 成果 萧树铁先生审阅了本书全稿,许多同志为本书提供了宝贵的建议,编者 . 在此一并表示衷心的感谢. 这本教材还没有经过较为广泛的试用,缺点和毛病还不少,期待同行和读 者们不吝多提宝贵意见. 编者 年 月 1999 9 目 录 ……………………………………………………………第 章 多元函数及其微分学 ) ( 1 1 …………………………………………………………………维 空间 ) ( 11 狀 犈狌犮犾犻犱 1 ……………………………………………………………维 空间 ) ( 111 狀 犈狌犮犾犻犱 1 ………………………………………维 空间中的基本拓扑概念 ) ( 112 狀 犈狌犮犾犻犱 2 狀 …………………………………………………………中点集的连通性 ) ( 113 犚 2 狀 狀 …………………………………………………中的点列 的完备性) ( 114 犚 犚 3 ………………………………………………………………………复平面 ) ( 115 3 ………………………………………………元函数 狀 犿 的向量值函数) ( 12 狀 犚 →犚 4 ……………………………………………………………………元函数 ) ( 121 狀 4 狀 犿 ………………………………………………………的向量值函数) ( 122 犚 →犚 6 ………………………………………………………………………极限与连续 ) ( 13 9 …………………………………………………………向量值函数的极限 ) ( 131 9 ………………………………………………………向量值函数的连续性 ) ( 132 13 ……………………………………………………………无穷小函数的阶 ) ( 133 14 ……………………………………………………多元函数的全微分及偏导数 ) ( 14 16 …………………………………………………………元函数的全微分 ) ( 141 狀 16 ……………………………………………………偏导数 全微分的计算 ) ( 142 19 ……………………………………………………………方向导数 梯度 ) ( 143 25 ………………………………………………………………数量场的梯度 ) ( 144 28 ……………………………………………………高阶偏导数 高阶微分 ) ( 145 30 ………………………………………………………………向量值函数的微分 ) ( 15 33 …………………………………………………………向量值函数的微分 ) ( 151 33 ……………………………………………………………复变函数的微分 ) ( 152 37 ………………………………………………可微复合向量值函数的微分 ) ( 153 39 ……………………………………………隐(向量值)函数的存在性及其微分 ) ( 16 44 …………………………………………曲面与曲线的表示法 切平面与法线 ……………………………………………………曲面及其切平面和法线

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