manbetxios客户端其中最常见的不变量是(上)同调、(高阶)同伦群

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文章关键词:万博体育3.0ios,同调等价

  代数拓扑看到同调就看不下去了,基本群还直观一点。刚开始还能理解动机(曲面分类?),到后面感觉在代数上走太远太远了,冗长而抽象,几乎都快脱离拓扑空间了,各种chain homotopic chain maps…各种群对拓扑空间到底意味着什么(只是孔或洞的区别?)?。所以恳请有经验的专业人士能够给给看法和理解或者指点,传递点正能量,最好也能说说后面比较漂亮的结论和定理,像Borsuk-Ulam之类的,让累觉不爱的我有动力继续看下去。P…

  在有很多很好很充分的回答之下仍然强答一发,补充一个更「大图景」的观点,虽不一定适合初学者但更符合问题本质。直接回答题主的问题:1)

  「为什么研究XXXX」的问题通常很难回答,但这个问题偏偏可以看作特例,以「同伦论就该研究这个」的语气回答。然而要合理化这个直觉,我们需要讨论更基础更难回答的「同伦论该/在研究啥」的这一个问题。以下的回答整理了去年一整个学年来跟导师上高级代数拓扑课、抱导师大腿「科研」的过程中的一些感想。考虑到题主和读者可能已具有Hatcher级别的代数拓扑基础,本回答自由使用范畴语言和范畴论观点/思维模式,而不重基础和直观。行文风格偏口水啰嗦莫怪。

  。不仅要为单个(什么?)对象找不变量,在「态射重于对象」的范畴论思潮里,我们希望这些不变量最好要有一些「自然性」,即要求这些不变量组成函子,因而呼应了@李国华同学的观点。

  然而需要指出,这种说法是笼统、不精确的,因为我们首先要回答括号里的问题,即:我们要研究的是

  。而刻画同胚的不变量在点集拓扑已经经过了大量的研究,但这些不变量几乎都不是代数的。与此同时,对拓扑空间的连续变换的观察催生出

  的概念,出于某种我不能完全理解的玄学动机(但我曾在知乎上讨论过同伦的「玄学」,见同伦与同胚的区别是什么? - 尘锐案的回答),我们决定放宽不变量所需刻画的等价关系,改为研究在

  下不变的代数不变量。其中最常见的不变量是(上)同调、(高阶)同伦群,不那么常见的还有广义(上)同调——如稳定同伦群、K理论、配边理论(cobordism theory),甚至包括Lurie的椭圆上同调等等。这样我们考虑的范畴就变成了

  都是离散的,其中包括没有非平凡的(路径)连通单元,因此也没有任意非平凡的同伦群。但令人担忧的是,

  。对于这类怪异的空间,我们陷入了矛盾——既不能认为它们同伦,也没有特别优雅的同伦不变量来区分它们。对此,其中一个折衷的解决方案是进一步放宽等价关系。例如,如果将在所有同伦群是都诱导同构的映射视为新的等价关系,即

  是什么?拓扑空间当然要研究,但研究拓扑空间上的同伦论的方法,实际上可以推广开来用于研究很多

  )。至于什么是「同伦属性」,我们仍需借助拓扑空间范畴的直觉来思考和推广。

  让我们重温拓扑空间上的同伦论真正用到的formal data(形式数据?)。要定义(强)同伦的概念,最方便的方法之一是考虑区间

  这个等价关系要满足一些代数性质,例如将同伦的映射复合后仍然同伦等等。这样我们就可以形式地商掉等价关系而取

  。(题外话:与区间取乘积更一般的推广是如Quillen的「柱对象」;与之对偶的是「路径对象」,具体到拓扑空间中即映射空间

  至于弱同伦等价,在许多具体例子往往具有多样性。尽管在一些常见的例子(如拓扑空间,以及【剧透!】链复形)中是由某些同伦不变量之不可区分来作为标准,但公理化推广时我们仍需保留一定的灵活性,最重要的考虑仍然是局部化构造导范畴的过程中显然需要满足的性质。主流的公理化策略是以Quillen的模型范畴方法为首,要求同伦范畴中的弱等价满足:a) 弱等价的复合仍是弱等价,即组成子范畴;b) 包含所有同构,即包含所有同伦等价;以及 c) 「三取二」公理:

  在小范畴中,即所有态射的搜集确实是一个集合的范畴,对于弱等价进行局部化的操作可以大体类比于环的局部化,即强行加入弱等价的「形式逆态射」。不幸的是,小范畴这个条件太过于苛刻,以至于最基本的拓扑空间(同伦)范畴都不满足。因此,构造导范畴需要一些特殊的技术:

  我个人喜欢称这个子范畴为「魔法子范畴」(magic subcategory,语出导师课上随口的一句评论);具体在拓扑空间范畴中,满足这个条件的子范畴

  ;根据Milnor定理,任意(良好的;此处隐去技术细节)拓扑空间都弱同伦等价于一个CW复形,而Whitehead定理则说明CW复形之间的弱同伦等价均为同伦等价。因此,要研究拓扑空间的导范畴,我们实际上只需把注意力放在CW复形的同伦范畴上。

  存在「区间对象」并可以此定义同伦及取商范畴、存在满足一定公理的弱等价(子范畴)、存在「魔法子范畴」

  ,如单纯阿贝尔群、单纯交换环等;见Peter May - Simplicial Objects in Algebraic Topology)、

  ,以及我最近抱导师大腿的sheaves of combinatorial spectra(小广告莫介意)。

  。让我再把本回答的重点、大家最关心链复形再往后拖一拖,而先讲单纯集合作为例子。毕竟我觉得最接近于拓扑空间、可操控性最强的、带同伦属性的范畴莫过于单纯集合了。原因不外乎是一对Quillen伴随函子,在我早前的回答里提到过:单纯同调与奇异同调的区别?感性和理性的都行 - 尘锐案的回答。通过

  在各自导范畴里都是弱同伦等价。这样的伴随对我们称之为Quillen等价。简略地说,

  需要指出,以上概述隐含了一个小小的谎言。manbetxios客户端首先单纯集合确实带有「区间对象」,即单纯集合

  。在这个意义上,拓扑空间和单纯集合两个范畴之内的(强)同伦论一致并不是行骗,而是确凿的重要结论。

  然而需要解释的是,单纯集合不具有(或只是我不知道?)天然的弱同伦等价。针对Kan复形我们可以定义(个人认为)ad hoc的同伦群,并仿照拓扑空间的情况强行定义弱同伦等价。但对于一般的单纯集合

  是弱同伦等价;由于后者是Kan复形,我们定义前者的同伦群为后者的ad hoc同伦群。可以证明(见如Goerss & Jardine - Simplicial Homotopy Theory)这样定义出来的同伦群其实同构于

  而已。但是,我认为单单要求上单位是弱等价已经不是显然的结论,而这个结论成立本身就说明了

  模的链复形范畴天然带有同伦属性。在我看来,链复形的同伦属性实质上是来自于单纯集合(或其初阶版本

  历史上,人们首先研究拓扑空间的同调时,最初只研究单纯复形这种对拓扑空间的「刚硬」的组合近似,而这类空间上有着特别丰富、特别几何化的(上)同调理论。其它答主已经把这一部分直觉解释的比较详细了(最典型的描述当然是「数洞」),在此不再赘述。之后,如Hatcher里面也提到了至少三四个单纯复形的变种,一个比一个「柔软」,而且每一套变种上都可以类似地定义(

  系数)(上)同调。在逐渐软化的过程中,它们先包含了例如流形等可三角剖分空间;而后到了可以包含了CW复形时,对于同伦论的目的(在导范畴上计算)就已经足够了,由此得到的是

  。在这套观点看来,这不过是(2.1)之中「借弱等价关系」的反其道而行之:只要证明了这些(上)同调理论保持单纯集合的(弱)同伦等价,它们自然就会是拓扑空间的(弱)同伦不变量。

  吧!Moore (?)定理指出,在某种等价的意义下(即后面才出现的同伦等价/拟同构;此处避免循环逻辑)我们可以只取单纯集合的

  有2个零维非退化单纯形,1个一维非退化单纯形,因此能够充当「区间」的链复形可以取为

  其中唯一一个非零映射是(-1,1),对应于两个端点在线段里的「定向」是相反的。

  可以达到这个效果。甚至我们可以细究双重链复形的totalization(全局化?),实际上就是取

  维单纯形(对应于链复形里,逐个取张量积)的搜集(对应于链复形里,取对角斜线上元素的直和)。而那些乍看奇奇怪怪、只为了满足链复形公理

  的正负号,其实逐个对应于这些单纯形在乘积里的定向到底有否「翻转」。作为防呆,我们可以手动检查这个新「乘积」至少和以上的「单点链复形」兼容:对于任意链复形

  (不妨参照代数和范畴论里面的homotopy和拓扑中的homotopy是一回事吗? - 知乎用户的回答,甚至附有Exercise!虽然没有认真typeset,但是应该无妨阅读)。希望你能体会到之前缺乏直觉的chain homotopy,其实不过是照搬单纯集合的同伦属性,manbetxios客户端然后按照以上数据套入得来。说到这里,

  我必须吐槽众多经典教材里对chain homotopy的描述,其实完全隐藏了链复形范畴的同伦属性的来源

  ——这些描述中的chain homotopy居然连chain map都不是,对于理解来说就有些过分了。

  除了链同伦之外,还有很多本质上很拓扑的构造被照搬到了链复形范畴上来——哪怕过程与链同伦相似,照搬的过程被隐去了,只留下了多少有些反直觉的生涩的代数定义。我印象最深刻的例子是

  ;如果我们愿意很仔细地做setup和bookkeeping,我们有理由相信链映射

  粘合」。更为重要的是,它理应和空间中的映射锥一样,(链)同伦等价于商对象

  故事还没有完结:我们还需要描述弱等价和所谓「魔法子范畴」。由于在链复形中没有很好的同伦群的类比,我们用(上)同调群取代同伦群,并声称在所有(上)同调中诱导出同构的链映射为弱等价,通常称为

  。细心的读者会发现之前陈述的定理以Cartan--Eilenberg命名,原因正是因为导范畴在他们的里程碑著作Homological Algebra里正式诞生,而且

  (injective resolution)正是两个「魔法子范畴」。特别地,他们证明了对于

  模的链复形,这两子范畴满足「弱等价逼近」,即两种消解均存在,以及「吸收弱等价」,即射影复形(projective complex)和单射复形(injective complex)之间的拟同构均为链同伦。

  。回答完题主的问题,让我稍稍展开吹一吹链复形范畴的其它方面、尤其是玄学方面。

  用同调代数来分析拓扑空间本身就是代数拓扑的标准工具,例如我完全不能理解的谱序列等计算工具,可以看作是

  。而同调代数发展之盛,甚至已经可以看作成为一门单独的代数学分支,并且在代数几何等其它数学分支中有广泛应用;我个人则乐意将此看作是远远早于Lurie之前(with all due respect!)的

  (infusing homotopical methods into algebraic geometry;语出维基等对Lurie的评价)了。

  另外,启发于拓扑空间和单纯集合的范畴之间存在Quillen等价,我们关心:

  ,联系了非负分级(non-negatively graded)的阿贝尔群链复形与

  两个范畴。直觉上,这首先说明链复形上的同伦论不同于拓扑空间上的同伦论,因为单纯阿贝尔群只是单纯集合的子范畴。另一方面,这也反过来印证了「同调是可交换版本的同伦」这种直觉。

  最后,鉴于链复形(同伦/导)范畴具有众多优异性质(如其导范畴虽不是阿贝尔范畴却是三角范畴(triangulated category)等),而且同调代数理论高度成熟、工具高度发达,我们甚至反过来希望同调代数在更高的层面上反哺拓扑空间的同伦论,即

  ?注意,区别于常规的拓扑空间的(上)同调理论,我们希望拥有的是由空间组成的「链复形」。神奇的是,答案(大体上)是肯定的,由

  等构造各不完全相同、但导范畴等价的众多谱理论给出。更惊人的结论是,由放宽了维度限制的Eilenberg--Steenrod公理形式化定义的

  理论完全由May谱刻画:常规(上)同调是由Eilenberg--MacLane谱给出的、稳定同伦群是由球谱(sphere spectrum)给出的、而K理论则是由K理论谱给出的。

  【题外话、给好奇的读者的Bonus:单纯集合上有没有类比的谱?有,而且至少有两套系统,其中由Kan构造、Ken Brown发展到层上的

  正是其中我认为更有竞争力的一套。并且,哪怕在它们的层的级别,我们也已经成功构造出「魔法子范畴」并证明了Whitehead--Cartan--Eilenberg定理了。我们相信这套系统有更深层的理论价值,目前的计划就是希望利用它来推广层上同调,包括广义交叉(上)同调(intersection (co)homology。】

  的连续映射模去同伦类。至于同调群,其实也是探测n维的洞,但是关于“洞”的理解有不一样。首先考虑一个n维球面,它的n维同伦群和同调群都是

  ,表面在同伦和同调意义上都具有一个洞,这在几何直观下还是比较好理解的。要直观的感受同伦和同调群的区别除了1维时的交换性之外还可以考虑一下两个例子。

  ,想象一个面包圈的表面,其中空部分确实有个2维的洞,但这个洞的形状不是如2维球面状的,而是环状的。所以你说这个图形有没有2维的洞,取决于你怎么定义洞这个概念,也就是取决于选择同伦群还是同调群。

  2,考虑2维球面,这是个2维的图形,直观想象应该没有3维的洞,所以其三维同调群为零,与直观符合。但是Hopf fibration告诉我们存在非平凡的连续映射

  至于如何从同调群的定义中看出其也是探测洞的本质,只需多算一个例子,比如

  更常用的是上同调,其直观意义更难理解,可以参考De Rham上同调,从分析的角度把握。

  所有同调的核心就是作差,不是什么函子范畴这些abstract nonsense(虽然再其他意义上理解很有用)。同调就是将局部差别纪录下来,既得到一些结构的障碍也得到整体不变量。最为踏实的数学观念。要知道,给一般的一个拓扑空间,研究手段是极为有限的。线性逼近是普通人唯一的想法,因此自然想法是用单形去逼近,然后把局部差别纪录下来。而且,单形有一种由欧拉偶然发现的不变量! 早期Poincaré的同调论把这些差用一大堆线性方程写下来,后来才发展到打包成群结构。那些方程实际就是有限生成阿贝尔群的自由分解的关系。至于每个同调群的拓扑意义,可以去看用单形算出来的东西,或者算sphere和torus这样的例子。没有所谓严格写下来的直观性。毕竟拓扑空间本身就是抽象,我们可以抽取出一些贝蒂数就已经很好了。那些冗长的代数就是我们的直观! 在各个更具体的领域,这些量会得到相应更具体的描述,因此再反映出同调论的威力。

  也许这些简单的事情题主都清楚,那么题主感到迷惑的原因可能就是没有好好去操作书中的数学对象,只是一下午看了一大堆,感觉头昏脑涨,尤其是hatcher的书写得密密麻麻,东扯西扯的。不去做数学,怎么学数学?不一定要做习题,可以假想自己去做个lecture,要讲相应的内容。能把看到的构造再现出来吗?这也是做数学。

  假如你看Spanier的话其实就很清楚,代数拓扑的核心思想就是找functor,从拓扑空间的范畴到代数的范畴(群范畴,交换群的范畴,环范畴,...)道理也很简单,拓扑空间研究起来没有直接的工具,但是代数的工具却很多。这可能是对你第一个问题的回答。

  对于我而言,第一个让我感到惊讶的定理是Mayer-Vietoris序列。简单地说就是

  /*这就暗示着同调可以有类似于Derived functor的结构。我曾经花很长的时间思考这个问题,但具体的构造可能要在sheaf cohomology里面找答案*/

  我觉得初学的时候不要太陷入到代数里面,毕竟它是拓扑,简单的理解的话确实就是在“数洞”。形而上的,“拓扑学是研究空间连续变化下不变量的学科”。同调也只是各种不变量之一。我觉得初学强调 category theory 并不是一个好的途径。

  不严格地,它描述的东西是“闭的但不是边界的链”——这样的“链”就围成了“洞”。如果你愿意花费时间的话,我建议可以先学习并计算一些单纯同调,这其实也用不了很多时间。然后就会稍稍有些感觉。单纯同调的东西是可以看得到的。只有算例子才能培养直观。

  第一个令人兴奋的定理应该是类似 van Kampen theorem 的 Mayer–Vietoris sequence 了。然后你还会证明一些经典定理比如 Jordan curve theorem,Brouwer fixed-point theorem 等东西。

  我个人理解同调也是有很好的直观的意义的,只是很多作者为了强调代数的可计算性,有意或者无意的不去提同调的直观。直观上,你可以理解同调就是去探测高维的洞。探测的方式是用高维的“三角形的”的布。

  举个例子 探测二维的洞(一个平面的圆周)用一个二维的三角形,二维的三角形里面可以含有一个圆。这时候对这个二维三角形求边缘之后的结果必然是0.也就是说属于闭链群。但是由于中间有洞这个二维三角形不会是一个2维单纯形的边,所以不属于边缘链群。所以边缘链群和闭链群会有差别。这个差别就是反应洞的数量的。

  同理三维的洞就是一个空心球,这个空心球可以放到一个空心四面体的内部,对空心四面体求边缘,结果是0。但是由于是空心的,不能是一个三维单纯形的边。所以这里的边缘链群和闭链群也会有差别。

  既然有@尘锐案的大作在前,我也没啥必要反对啦. 同调比同伦好计算并不是一个完全正确的答案。事实上有的空间同伦群比同调群简单得多。

  关于系数的意义,你可以自己check一下RP^n的同调。有趣的东西在于,Z/2系数下它的同调(上同调)结构非常简单,并且0~n维同调群均不为0,但是在Z系数下它的偶数维同调为0(基本上是).基本上就是 李国华答案的第一段。代数拓扑的这些工具,如同调群同伦群,都是探测空间的不变量,换句话说是:我知道两个空间满足某种等价关系则它们的某个不变量是一样的,比如同伦等价的空间有相同的同调群。于是两个空间有不一样的同调群则它们一定不同伦等价。

  对于狄拉克算子的答案也不是很满意。这个说法太容易误导了。虽然本质上是对的。

  另: Hatcher需要有老师带着看。建议你先从《从微积分到上同调》看起。

  2. 我们更多时候是研究上同调。上同调的方法在代数、几何、数论等等中都很重要,而且比同调可能更直观,因为X的上同调是研究X上的bundle/sheaf,这是很自然,很常见的构造。从X上的构造可以还原X,从代数几何到非对易几何都可以看到这个观点。某种意义上,上同调是类似做表示论,比同调更灵活,例如上同调有自然的环的结构。

  3. 初学者可能认为同调比同伦容易算,这不一定。例如 K(G,n) 的同伦无疑是最简单的,但是 K(G,n) 的同调并不简单,也挺有意思。

  4. 同伦和同调还有很有趣的联系。我们都知道,欧拉示性数可以用同调群的阶加加减减算出来。但是你是否知道,欧拉示性数也可以用同伦群的cardinality乘乘除除算出来。感兴趣的同学可以看groupoid cardinality in nLab。

  于是,我们可以开玩笑说,同调和同伦的关系,是加法和乘法的关系。了解范畴论的都知道加法和乘法是什么关系,在这里应该怎么看值得思考。

  代数拓扑的主要特点是借助各类拓扑不变量研究拓扑空间。基本群,同调,上同调还有高维的homotopy group都是例子。那么为什么引入同调?历史上的源流我从来没有研究过,但明显基本群肯定是不够的,因为它只处理低维的东西。有多低?事实上Hatcher 上边有道习题告诉你如果你给一个CW-complex加3维以上的cell那么基本群是不变的。(当然,直觉上讲这很显然)

  至于同调的几何意义,我基本没有考虑过。hatcher上边有一点点的讨论,关于simplicial homology的几何意义,但事实上并没有卵用。因为在实际的应用过程或者证明其他的结论当中你的思维不会从几何意义出发,而是直接从具体的构造,已有的结论等出发。把书上的各类构造搞明白,证明搞清楚足矣。

  整个的代数拓扑必须要学过上同调和homotopy group才开始精彩。单单有homology 和基本群是很乏味的事情。但一旦引入了上同调事情就会变得五彩缤纷。Closed manifold 是否是orientable的可以靠top homology来判断,而这个东西一般很好算。也就是说通过homology你获得了一种快捷地判断是否可定向的方法。把U.C.T和庞加莱对偶结合你可以很快得出奇数维流形的欧拉示性类都是0.这里对于不可定向的流形可以通过把系数改成$Z_2$来证明(系数为什么有用的一个例子)。通过这个结论你可以迅速证明3维不可定向的流形的基本群不可能是有限的。

  这些都是代数拓扑看似抽象的理论给出的漂亮的应用。所以有的时候不要想太多,扎实地把书上的细节都搞懂是王道,然后往后走,自然可以体悟更多。

  There is a quite related post at here:

  cohomology - What is (co)homology, and how does a beginner gain intuition about it?

  The answer given by Reid Barton is really nice.

  平常接触的图形比较直观,但某些抽象出来的复杂图形用直观难以把握,高维图形本身也没有直观可以借鉴。

  我们用同伦群或同调群或别的什么来刻画拓扑空间,对于同胚/同痕/……的拓扑空间应该得到同样的群,那么就可以由这个代数上明确的对象来得到一些分类。

  第一,同调论的由来。题主的前几句说得很准确,基本群动机直观,同调论在代数上准备得比较多。历史确实是这样。基本群在Poincare时代就出现了,但即使要区分闭曲面,最简单也必须借助交换化,因为群的分类很难研究。基本群交换化后就是第一个同调群,首先被注意到的是Betti数,其次是(用现在的语言)边缘算子在单纯链群上的矩阵的初等因子,其实就是同调群的挠元素部分。这些数值不变量也容易推广到高维单纯复形。最先意识到诸维数同调作为不变量其实应该看作阿贝尔群而不是其表现矩阵的一堆数值不变量的人是Noether(就是诺特环的那个Emmy Noether)。后来才有了同调代数研究同调论的系统的理论。以上就是今天看到的代数拓扑的一支来源。上同调也来自黎曼曲面等方向的研究;高维同伦群建立得早,但早期研究主要包括今天一些初等理论的雏形。

  第二,同调类是什么。这里说一种看法,历史来源待详考。如其它一些答案详细解释的,(域系数)同调论就是用线性空间的维数去数“洞”。Poincare时代的拓扑学大致就是指研究(今天称的)组合流形的拓扑非平凡性,所以同调类在想像中大致是嵌入闭子流形的协边类。换句话说,同调论从动机讲想考虑的代数对象是所有定向闭子流形生成的自由阿贝尔群模去高一维定向带边子流形边界生成的子群得到的商。这个看法从cycle和boundary两个词里犹见端倪。当然同调类的这个认识在今天看是不准确的,今天还有很多研究关心同调类何时能实现为嵌入或浸入的、光滑或组合或拓扑的子流形。但这个看法提供了一种朴素的直观,而且这种直观在三维以下光滑嵌入意义上是对的。

  关于学习,初学建议借助直观理解概念和结果,但打算长期学习的话,建议通过同调论部分去适应那种用代数工具讨论的方式,暂时忘记一些肤浅直观。

  外行来随便答答。数学里面有一类问题只关心流形的拓扑性质,而不关心其微分性质。比如二维曲面分类,庞加莱猜想(定理)。对这类问题,链复形,同调群是一个自然的切入点。

  当然随着数学的发展,代数拓扑也用在了各个不同的领域。个人感觉代数几何的刚性最强,微分流形和拓扑流形比较软,但是一个问题就是微分几何中的量/性质是否能在代数几何中找到代表。

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