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作者: 万博体育3.0ios|来源: http://www.miltonsway.com|栏目:manbetxios客户端

文章关键词:万博体育3.0ios,同调等价

  从motivic homotopy theory角度的观点来看,manbetxios客户端代数K-理论就是一个上同调理论;这就如同从拓扑空间的同伦论来看,拓扑K-理论就是一个上同调理论一般。

  然而这个说法并不公平,因为事实上无需motivic homotopy的新理论就可以描述非常广义的代数K-理论了,其中我所知道最general的就是@xinggu所描述的Waldhausen spectrum。那motivic语言的优势何在呢?

  简而言之,这套新的语言在某种意义上将代数几何世界与代数拓扑世界类比起来,因而后者大量的技术就都可以用以解决前者的问题。譬如Atiyah-Hirzebruch谱序列,最初是A-H在研究拓扑K-理论的时引入的,其中一种构造方式是考虑spectrum的Postnikov filtration。如果我们相信代数K-理论是拓扑K的某种「正确」的类比,那是否存在一个联系代数K-理论和概形上的某种上同调的谱序列,最好也是由某种对应的filtration给出的呢?最终这个问题的解答是基于Voevodsky对motivic spectrum的slice filtration[注0]。

  回到本题,我觉得引入motivic homotopy这套新语言的好处至少是,它给我们带来了理解概形上的代数K-理论的一个相对「几何」和直观的观点,使得它们看起来并不如其它从纯代数角度出发的那么exotic。

  下面我将首先回顾简述从spectrum的观点看上同调和拓扑K-理论,目的是为接下来构造代数世界里的类比提供动机。2.2.是本回答的核心,简介stable motivic homotopy的构造和背后动机,但相对比较technical。最后,受@xinggu的答案启发,试图讨论与其它比较代数的构造之间的联系,并说明Waldhausen S-构造确实推广了Quillen +-构造,并且与motivic版本的代数K-理论也一致。

  声明:这个回答的动机其实不在于分析K-理论,而在于借机宣传motivic这套新东西。manbetxios客户端在很大程度上这是我最近自学老板两年前的motivic homotopy的讲义的学习笔记,只是写作重心更偏向K -理论一些。manbetxios客户端行文风格或许对初学者极不友好,还望见谅。超长回答预警,目录后正文有约6K字/词/符。

  [0] 实际上这个问题的研究历史十分尴尬,Voevodsky的版本也有一些漏洞,一直到08年左右才由Levine完全解决。见Weibel, VI.4.4的讨论。

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  考虑任意「空间」和「映射」的范畴。(这里故意使用含糊的表述,是因为spectrum这个概念虽脱胎于拓扑空间,却适用于许多更广义的同伦范畴,比如我们在第二部分定义的motivic homotopy category。)这个范畴应当有足够多的(上)极限,使得smash积可以定义;函子还应当有右伴随

  K-理论的一大动机是分类向量丛。考虑拓扑空间[注1] X上的有限维复向量丛的同构类,配备向量丛直和(Whitney和)运算后成为一个交换幺半群(monoid),它的Grothendieck K群记作。

  上面之所以回顾拓扑K-理论,是因为我个人认为理解代数K-理论的一个「正确」观点是:它不过是拓扑K-理论的代数类比。然而事实上要把这个类比说清楚是一件高度不平凡的事情。为方便起见,下文考虑的概形都是k概形(即

  了。我们还知道,取时,由GAGA可得复射影簇X的代数向量丛等价于其对应的解析空间的拓扑复向量丛,从而和拓扑K-理论联系起来。既然拓扑K-理论有Bott周期性,我们预期代数K-理论也有类似的

  对M-V构造的理解,我是从之前的路线图遇到的难点出发的。完成上述构造的难点是,概形范畴太「硬」了,主要体现在没有足够多的上极限。这个事实带来的首要困扰是取商变成了难题,因此连定义「球面」甚至「圆」也不显然——直觉上的一些候选模型,譬如

  (是一个层)A1-等价。因此,单纯层范畴更像是一个垫脚石,在再奇怪的构造的最后都可以通过这一步几何实现把单纯维度「压扁」到0,从而回到上一步的层范畴当中。另一方面,放大到单纯层范畴的另一个好处是得到了悬架(suspension)构造,因为之前提到的圆或球面的模型统统有了明确含义:*

  [4] Motivic homotopy category的构造应该是形式的,考虑任意site上的单纯层、对任意选定的区间对象作Bousfield 局部化。为了我们的目的,至少可以考虑介于

  从Zariski到étale之间的任意拓扑都成立。M-V实际使用的是Nisnevich拓扑,原因在这个MO帖子中有讨论。窃以为根本原因是M-V理论的头号动机就是把代数K-理论放到新框架里,也即要求代数K-理论函子可表。然而代数K-理论并不满足étale descent,直接考虑étale拓扑是行不通的。

  在这一部分,我们回到在2.1.的路线图,构造出代数K-理论的motivic spectrum,因而最终说明代数K-理论就是一个上同调理论。

  实际上要达成这两点只需粘合上2-cell来把基本群阿贝尔化,再粘合上3-cell来kill掉新出现的就足够了。注意到的同

  这部分细节我不清楚,只能讲个大概的动机和结论。首先两个构造都是针对范畴定义的,而Quillen Q-构造的目的是将K-理论推广到概形。Quillen留意到,概形X的代数向量丛范畴作为阿贝尔范畴模的满子范畴,满足对扩张的封闭性:对任意短正合序列

  最后提及一下Waldhausen S-构造。这个构造的其中一个应用是Thomason-Trobaugh K-理论;它和Quillen K-理论对拟射影概形一致,在一般情况下可能不同。T-T K理论的意义在于,用他们自己的话说,Quillen K-理论缺乏足够好的descent性质,并因此阻碍了这个分支的发展长达十五年。

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