manbetxios客户端在2维拓扑非线性 Sigma 模型中

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文章关键词:万博体育3.0ios,同调等价

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  展开全部代数拓扑在物理中的应用一般都很浅,大多数情况只是使用到概念层面,很少用到代数拓扑深刻的定理。常见的概念有同伦群,同调群和上同调群。在场论中,这三个概念有各自常用的使用语境。

  同伦群:常见于刻画规范场位形的拓扑结构,最常见的就是刻画球面、环面或者欧几里得空间上的矢量丛的拓扑。比如涡旋、瞬子的等价类对应 和的矢量丛等价类,分别用 和来刻画。纤维丛的同伦恰当序列也常用于计算一些比较难算的同伦群,比如的高维同伦群。又如上规范反常的存在性可以归结为“无穷维规范变换群的基本群是否平凡”。

  同调群:同调群用得相对较少,用的时候也通常只用来表征目标流形有多少洞,或者对某些几何对象进行分类讨论。有了洞,就可以讨论非平凡的拓扑荷(拓扑通量)。比如的,就可以讨论磁单极子的整数磁通量,或者电荷慈磁荷量子化。

  利用奇异同调群与 Cech 上同调的关系,还可以用奇异同调群、Cech 上同调来分类流形上的线丛,或者更复杂的 gerbe(高级线丛)。Gerbe 在物理中出现在一般的 2d有 H-flux 的非线性 Sigma 模型,target space 受超对称数量要求具有 Bi-hermitian 结构,从而 target space 上定义了一个 gerbe。

  在2维拓扑非线性 Sigma 模型中,A-twist 的 BPS 位形是世界面到目标流形的全纯映射。由于世界面可能是任意的黎曼曲面,比如球面,因此就有各种不同的拓扑不等价的映射。刻画这些拓扑不等价的映射,就用映射所属同调类。

  1)规范场中,刻画相应矢量丛的拓扑通常是会用示性类,manbetxios客户端这些示性类都是空间流形上的上同调类。比如计算欧拉示性数用欧拉类,瞬子数用陈特性,涡旋数用第一陈类。manbetxios客户端

  3)许多时候物理问题需要研究某些算符的上同调群。最常见就是超对称量子力学中超对称算符的上同调群,这个上同调群的生成元与系统的基态(即的调和态)一一对应。算符的 Witten index 定义为复形的欧拉示性数,是超对称物理中比较重要的数。

  指标定理:作为重要的计算工具,指标定理也出现在不少物理问题中(当然本质上都是数学家早就熟知的数学问题)。1)比如计算某些带拓扑荷的规范场位形的模空间,包括涡旋,瞬子,Seiberg-Witten 解,拓扑弦中黎曼曲面的复结构模空间维度;2)计算各类反常,比如手征反常,规范反常使用 Dirac 算子的指标;3)有时某些算符的指标直接就是计算目标,比如 Witten index 4)有时需要计算算符的superdeterminant,可以找与之交换的微分算符 ,并通过计算的(等变)指标来获得的波色、费米本征谱之间的不完全抵消关系,然后写下superdeterminant

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