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  在上一篇《范畴与函子》中,我们初步了解了代数拓扑这门学科想要干什么,即通过找拓扑空间的具有代数结构的不变量来将拓扑空间进行分类,在这一篇,manbetxios客户端我们即将正式步入代数拓扑的城堡~

  “基本群”和“同调群”是法国伟大的数学家庞加莱(Poincaré)引进的概念,两者都是用来窥测一个几何体(拓扑空间)的“中空”性质,或者说这个几何体有怎样的“洞”(即几维的“洞”)。例如一个游泳圈(二维环面),它中间有个空洞,因此它的基本群是非平凡的,manbetxios客户端一维、二维的同调群也是非平凡的。

  不过,与同调群相比,基本群具有更直观的几何含义,这是由于它的定义更直观一些,然而这也给基本群带来很大的缺陷:基本群比同调群更难计算!

  但在后期不断发展中,基本群与同调群逐渐演变推广到同伦群与一般系数(上)同调群的概念,(基本群实质是一维同伦群,这些推广我们将在下一章讨论)同时也催生了不少丰富的理论计算方法。

  函子性质是描述拓扑空间的有代数结构的不变量的非常重要的语言,在上一篇《范畴与函子》中也讨论过。一般地,两个拓扑空间有连续映射,那么可以诱导出它们在对应点的基本群同态,manbetxios客户端并且若这两个拓扑空间同胚,那么它们对应点的基本群同构。为了方便用范畴语言描述,这里给出道路连通的拓扑空间范畴和群范畴之间的函子:

  链复形只是连接拓扑空间和它的同调群的一个桥梁,我们真正要得到的是“同调群是拓扑空间的有代数结构的不变量”这一性质,也就是拓扑空间范畴和Abel群范畴之间的函子关系:

  以下三种计算方法的证明都用到了《同调代数》中链复形与其同调群之间函子的特殊性质:链复形的短正合序列可诱导出其同调群的长正合序列。

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