manbetxios客户端这就是同调代数bread and butter了

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作者: 万博体育3.0ios|来源: http://www.miltonsway.com|栏目:manbetxios客户端

文章关键词:万博体育3.0ios,同调等价

  谢邀。本回答的口号是:「导出范畴就是范畴的局部化」;主要内容是借机谈谈calculus of fractions。

  (开始之前需要强调的是,由于各种各样的原因,calculus of fractions远非构造导出范畴的最佳方式。现在常用的重武器是模型结构,也有许多稍轻型一些的变种,例如Cartan-Eilenberg结构,宗旨正是要避免强行形式化加入逆元,使得范畴复杂得失去控制)

  如我之前在关于胚化的回答里所说,幺半群(monoid)和(非交换)环不过是只有一个对象的范畴和加性范畴(additive category),其中范畴的复合对应于乘法(加法单纯单纯来源于经阿贝尔群范畴强化)。放到我们最熟悉的(例如交换)环的情形,就得到了乘性系统(multiplicative system)。

  考虑到范畴里态射的复合天然是非交换的,manbetxios客户端所以在讨论范畴的局部化之前,manbetxios客户端应当先行探索非交换环的局部化。

  接下来回归正题,讨论范畴的局部化。上文要费老大劲讲解细节的原因,当然是范畴(=幺半群胚)的局部化的情形,除了复合(=乘法)不再是二元运算、而是二元偏运算(partially defined operation)以外,没有本质的不同。下面我们类比地给出对应的定义和定理。

  最后,我们同样可以类比地写下范畴的局部化的(1-范畴)泛性质;这样,满足这个泛性质的局部化范畴在范畴同构意义下唯一。如果足够仔细,我们甚至可以写下2-范畴泛性质,而满足这个泛性质的局部化范畴则在范畴等价意义下唯一。模去集合论困难(可惜实际操作中这常常是最大的困难),可以证明:

  中链复形的(强)同伦范畴:对象为链复形,态射为链映射的同伦类;这不是阿贝尔范畴,却是加性范畴(事实上还是三角范畴)。取

  (也是一个三角范畴)。这就是同调代数bread and butter了。

  。它等价于单纯集合范畴或拓扑空间范畴关于弱等价的(形式上)局部化,也等价于CW复形或Kan复形的(强)同伦范畴。这就差不多是同伦代数的bread and butter了。

  最后,「导出范畴可以简化同调代数这个技术是怎么实现的?」这个问题本身值得用至少一篇长回答/文章来讨论,在这里只简单聊一下思路。不说大家说烂了的导出函子vs谱序列,也不提「complex good, (co)homology bad」,就提两个相当简单的观点:

  由此可见,采用导出范畴的未必立即就能带来什么新结果,但往往可以带来一个纵观全局的视角,让人能从一头雾水的细节看出来「正确」的方向来。

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